Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)

A. √3+1/2         B. √3−1/2          C. 1−√3/2             D. 0

B

\(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow e^{-x}.f'\left(x\right)-e^{-x}.f\left(x\right)=2e^{-x}cosx\)

\(\Rightarrow\left[e^{-x}.f\left(x\right)\right]'=2e^{-x}.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow e^{-x}.f\left(x\right)=\int2e^{-x}cosxdx=e^{-x}\left(sinx-cosx\right)+C\)

Thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow e^{-\dfrac{\pi}{2}}.1=e^{-\dfrac{\pi}{2}}+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=sinx-cosx\)

\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin⁵x.cosx - 6cos⁵x.sinx + 6sinx.cos³x - 6sin³x.cosx = 6sin³x.cosx(sin²x - 1) + 6sinx.cos³x(1 - cos²x) = - 6sin³x.cos³x + 6sin³x.cos³x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2:

y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x(sin²x + cos²x) = sin⁶x + 3sin⁴x.cos²x + 3sin²x.cos⁴x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos²u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin - sin] + [sin - sin] - 2sin2x = 2cos.sin(-2x) + 2cos.sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos = cos = .

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

cos² = cos² '

cos² = cos² .

Do đó

y = 2 cos² + 2cos² - 2sin²x = 1 +cos + 1 +cos - (1 - cos2x) = 1 +cos + cos + cos2x = 1 + 2cos.cos(-2x) + cos2x = 1 + 2cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

1, \(y=2-sin\left(\dfrac{3x}{2}+x\right).cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)

 \(y=2-\left(-cosx\right).\left(-sinx\right)\)

y = 2 - sinx.cosx

y = \(2-\dfrac{1}{2}sin2x\)

Max = 2 + \(\dfrac{1}{2}\) = 2,5

Min = \(2-\dfrac{1}{2}\) = 1,5

2, y = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}\)

Min = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Max = \(\sqrt{5}\)

a: ĐKXĐ: 2*sin x+1<>0

=>sin x<>-1/2

=>x<>-pi/6+k2pi và x<>7/6pi+k2pi

b: ĐKXĐ: \(\dfrac{1+cosx}{2-cosx}>=0\)

mà 1+cosx>=0

nên 2-cosx>=0

=>cosx<=2(luôn đúng)

c ĐKXĐ: tan x>0

=>kpi<x<pi/2+kpi

d: ĐKXĐ: \(2\cdot cos\left(x-\dfrac{pi}{4}\right)-1< >0\)

=>cos(x-pi/4)<>1/2

=>x-pi/4<>pi/3+k2pi và x-pi/4<>-pi/3+k2pi

=>x<>7/12pi+k2pi và x<>-pi/12+k2pi

e: ĐKXĐ: x-pi/3<>pi/2+kpi và x+pi/4<>kpi

=>x<>5/6pi+kpi và x<>kpi-pi/4

f: ĐKXĐ: cos^2x-sin^2x<>0

=>cos2x<>0

=>2x<>pi/2+kpi

=>x<>pi/4+kpi/2

y=sin x đồng biến trên \(\left(-\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega;\dfrac{\Omega}{2}+k2\Omega\right)\)

=>Hàm số y=sin x không thể đồng biến trên cả khoảng \(\left(0;\dfrac{5}{6}\Omega\right)\) được

=>Loại A

\(y=cosx\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\Omega+k2\Omega;k2\Omega\right)\)

=>Hàm số y=cosx cũng không thể đồng biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{5}{6}\Omega\right)\)

=>Loại B

\(x\in\left(0;\dfrac{5}{6}\Omega\right)\)

=>\(x+\dfrac{\Omega}{3}\in\left(\dfrac{\Omega}{3};\dfrac{4}{3}\Omega\right)\)

=>\(y=sin\left(x+\dfrac{\Omega}{3}\right)\in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]\)

=>Khi x tăng thì y chưa chắc tăng

=>Loại D

=>Chọn C